Александр Сергеевич родился 9 сентября 1927 года в дер. Тетерино (ныне Плесецкий муниципальный округ Архангельской области) в крестьянской семье. Закончил Оксовскую неполную среднюю школу, поступил в Архангельский морской техникум. В сентябре 1943 года по призыву Архангельского комсомола был принят в школу юнг Военно-морского флота на Соловецких островах, где через год получил морскую специальность боцмана. В сентябре 1944 года был направлен на действующий Черноморский флот. Получил распределение на крейсер «Молотов». После был направлен в Польшу, где принял участие в ремонте судов, полученных в счет репараций от Германии. Закончил вечернюю партийную школу, был принят в члены КПСС. Служил во флоте до 1950 года, последние 3 года — в дивизионе подводных лодок в г. Поти.


После демобилизации, с 1950 года работал налоговым инспектором Плесецкого райфинотдела, затем — участковым страховым инспектором инспекции Госстраха. В 1953 году перешел на работу райинспектором ЦСУ СССР Плесецкого района. В 1964 году закончил Всесоюзный заочный финансово-экономический институт по специальности «Планирование народного хозяйства». В 1963—1967 годах работах начальником планово-экономического отдела производственного колхозно-совхозного управления Плесецкого района. С 1967 года работал начальником отдела в Приморском управлении сельского хозяйства, с 1970 года — в управлении сельского хозяйства Архангельского облисполкома. В 1981 году был назначен на должность заместителя начальника Архангельского областного управления статистики, в этой должности и проработал до 1987 года.

Награжден правительственными наградами: орденом Отечественной войны II степени, медалью «За оборону Советского Заполярья», медалью Ушакова, медалью Жукова, орденом «Знак Почета», медалью «За преобразование Нечерноземья» и др.

Принимал активное участие в общественной жизни, избирался депутатом Плесецкого поселкового совета. Поддерживал связь с бывшими юнгами, принимал участие в регулярных встречах экипажа крейсера «Молотов», военно-патриотическом воспитании молодежи.

Документы А. С. Поспелова поступили в архив в октябре 2003 года. В состав фонда вошли документы творческого характера: статьи о Соловецких юнгах, воспоминания, повесть и рассказ, документы к биографии, фотоальбомы, документы, собранные им о Соловецких юнгах и встречах ветеранов, стихи и тексты песен разных авторов, посвященные защитникам Родины.